4. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Сторона основания пирамиды равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано:

Правильная треугольная пирамида $$DABC$$, где $$AB = BC = CA = 8$$ см.

Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $$60^{\circ}$$.

Найти:

$$S_{бок}$$ (площадь боковой поверхности).

Решение:

1. Найдём высоту пирамиды:

Пусть $$O$$ — центр основания (точка пересечения медиан равностороннего треугольника $$ABC$$). $$DO$$ — высота пирамиды ($$DO \perp (ABC)$$).

Пусть $$DA$$ — боковое ребро. Угол между боковым ребром $$DA$$ и плоскостью основания $$ABC$$ — это угол $$DAO$$. По условию, $$\angle DAO = 60^{\circ}$$.

$$O$$ — центр равностороннего треугольника $$ABC$$. $$AO$$ — радиус описанной окружности. $$AO = \frac{a}{\sqrt{3}}$$, где $$a$$ — сторона основания.

$$AO = \frac{8}{\sqrt{3}}$$ см.

В прямоугольном треугольнике $$DOA$$ (угол $$DOA = 90^{\circ}$$):

$$DO = AO \cdot \tan(\angle DAO) = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \tan(60^{\circ}) = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 8$$ см.

2. Найдём апофему пирамиды:

Апофема ($$h_a$$) — это высота боковой грани (например, треугольника $$DAC$$). Пусть $$M$$ — середина стороны $$AC$$. $$DM$$ — апофема.

В прямоугольном треугольнике $$DOM$$ (угол $$DOM = 90^{\circ}$$):

$$OM$$ — расстояние от центра основания до середины стороны $$AC$$. $$OM = \frac{1}{2} AO = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$$ см.

$$DM = \sqrt{DO^2 + OM^2} = \sqrt{8^2 + (\frac{4}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{64 + \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{192 + 16}{3}} = \sqrt{\frac{208}{3}}$$ см.

3. Найдём площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему:

$$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_a$$, где $$P$$ — периметр основания, $$h_a$$ — апофема.

$$P = 3 \cdot a = 3 \cdot 8 = 24$$ см.

$$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \sqrt{\frac{208}{3}} = 12 \cdot \sqrt{\frac{16 \cdot 13}{3}} = 12 \cdot 4 \cdot \sqrt{\frac{13}{3}} = 48 \sqrt{\frac{13}{3}} = 48 \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = 48 \frac{\sqrt{39}}{3} = 16\sqrt{39}$$ см$$^2$$.

Альтернативный способ найти апофему:

Найдем длину бокового ребра $$DA$$. В прямоугольном треугольнике $$DOA$$:

$$DA = \frac{AO}{\cos(\angle DAO)} = \frac{8/\sqrt{3}}{\cos(60^{\circ})} = \frac{8/\sqrt{3}}{1/2} = \frac{16}{\sqrt{3}}$$ см.

В треугольнике $$DAC$$, $$DM$$ — высота ($$M$$ — середина $$AC$$). $$AC = 8$$ см, $$AM = 4$$ см.

В прямоугольном треугольнике $$DMA$$:

$$DM = \sqrt{DA^2 - AM^2} = \sqrt{(\frac{16}{\sqrt{3}})^2 - 4^2} = \sqrt{\frac{256}{3} - 16} = \sqrt{\frac{256 - 48}{3}} = \sqrt{\frac{208}{3}}$$ см. (Результат совпадает)

Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна $$16\sqrt{39}$$ см$$^2$$.