3. Верно ли утверждение: если одна прямая параллельна плоскости, а другая прямая перпендикулярна этой плоскости, то прямые перпендикулярны друг другу?

Анализ утверждения:

Утверждение: Если одна прямая параллельна плоскости, а другая прямая перпендикулярна этой плоскости, то прямые перпендикулярны друг другу.

Рассмотрим утверждение:

1. Пусть прямая $$a$$ параллельна плоскости $$\alpha$$ ($$a \parallel \alpha$$).
2. Пусть прямая $$b$$ перпендикулярна плоскости $$\alpha$$ ($$b \perp \alpha$$).
3. Нужно выяснить, верно ли, что $$a \perp b$$.

Теорема: Если одна из двух прямых параллельна некоторой прямой, лежащей в данной плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Теорема: Если одна из двух прямых перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в данной плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: Прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к ней тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения.

Следствие из теорем о перпендикулярности прямой и плоскости: Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассуждение:

Пусть прямая $$b$$ перпендикулярна плоскости $$\alpha$$ ($$b \perp \alpha$$). По следствию, прямая $$b$$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $$\alpha$$.

Теперь рассмотрим прямую $$a$$, которая параллельна плоскости $$\alpha$$ ($$a \parallel \alpha$$). Это означает, что прямая $$a$$ не имеет общих точек с плоскостью $$\alpha$$ (или совпадает с ней, что в данном контексте не предполагается). Но это также означает, что прямая $$a$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$.

Если $$a \parallel \alpha$$, это не означает, что $$a$$ не может быть перпендикулярна $$b$$. Но это также не означает, что $$a$$ должна быть перпендикулярна $$b$$.

Контрпример:

Представим себе стол (плоскость $$\alpha$$). Положим на него книгу так, чтобы она была параллельна столу (прямая $$a$$). Теперь воткнём карандаш вертикально в стол (прямая $$b$$). Карандаш перпендикулярен столу ($$b \perp \alpha$$). Книга параллельна столу ($$a \parallel \alpha$$). Но книга и карандаш не пересекаются, и тем более не являются перпендикулярными друг другу. Если же мы представим, что прямая $$a$$ проходит где-то в воздухе параллельно плоскости стола, а прямая $$b$$ — карандаш, втыкающийся в стол, то $$a$$ и $$b$$ не пересекаются и не перпендикулярны.

Вывод:

Утверждение неверно. Прямая, параллельная плоскости, может быть как параллельна, так и скрещивающейся или даже перпендикулярной к прямой, перпендикулярной этой плоскости. В данном случае, если $$b \not\ni a$$, то $$a$$ и $$b$$ не пересекаются. Если $$a$$ проходит через точку пересечения $$b$$ и $$\alpha$$, то $$a$$ может быть расположена под любым углом к $$b$$.

Ответ: Утверждение неверно.