4. В группе 6 мальчиков и 4 девочки. Случайным образом из группы выбирают двух человек. Найдите вероятность того, что будут выбраны 1 мальчик и одна девочка.

Решение:

Всего в группе \( 6 + 4 = 10 \) человек.

Нам нужно найти вероятность того, что при выборе двух человек будут выбраны 1 мальчик и 1 девочка.

Количество способов выбрать 1 мальчика из 6:

\[ C_6^1 = 6 \]

Количество способов выбрать 1 девочку из 4:

\[ C_4^1 = 4 \]

Количество способов выбрать 1 мальчика И 1 девочку:

\[ C_6^1 \times C_4^1 = 6 \times 4 = 24 \]

Общее количество способов выбрать 2 человек из 10:

\[ C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \]

Вероятность выбрать 1 мальчика и 1 девочку равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[ P(\text{1 мальчик и 1 девочка}) = \frac{\text{Число способов выбрать 1 м. и 1 д.}}{\text{Общее число способов выбрать 2 чел.}} = \frac{24}{45} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{24}{45} = \frac{8 \times 3}{15 \times 3} = \frac{8}{15} \]

Ответ: \( \frac{8}{15} \)