4*. Точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, ∠ABO = 48°. Найдите ∠ACB.

Решение:

Точка $$O$$, равноудаленная от вершин треугольника $$ABC$$, является центром описанной окружности.

Из условия $$OA = OB = OC = R$$ (радиус описанной окружности).

Рассмотрим треугольник $$ABO$$. Так как $$OA = OB$$, он является равнобедренным.

Следовательно, $$\angle OAB = \angle OBA = 48^{\circ}$$.

Сумма углов в треугольнике $$ABO$$ равна $$180^{\circ}$$: $$\angle AOB = 180^{\circ} - (48^{\circ} + 48^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$$.

Угол $$\angle ACB$$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $$AB$$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $$\angle AOB$$.

Связь между вписанным и центральным углом: $$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB$$.

$$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 84^{\circ} = 42^{\circ}$$.

Ответ: $$\angle ACB = 42^{\circ}$$.