3. Точка Е делит хорду АВ так, что ВЕ на 1 см меньше АЕ. Радиус окружности равен 9 см, АВ = 15 см. Найдите расстояние от центра окружности до точки Е.

Решение:

Пусть $$AE = x$$ см. Тогда $$BE = x - 1$$ см.

Так как $$AB = 15$$ см, то $$AE + BE = 15$$, значит $$x + (x-1) = 15$$, $$2x - 1 = 15$$, $$2x = 16$$, $$x = 8$$ см.

Следовательно, $$AE = 8$$ см и $$BE = 7$$ см.

Пусть $$O$$ - центр окружности, $$R = 9$$ см. Пусть $$OE = d$$ - искомое расстояние.

Используем теорему о произведениях отрезков хорд: $$AE \cdot BE = (R-d)(R+d)$$ (если $$E$$ внутри окружности, что следует из $$AE < 2R$$ и $$BE < 2R$$).

$$8 \cdot 7 = 9^2 - d^2$$

$$56 = 81 - d^2$$

$$d^2 = 81 - 56$$

$$d^2 = 25$$

$$d = 5$$ см.

Ответ: Расстояние от центра окружности до точки Е равно 5 см.