4. Тело падает с высоты Н = 10 м. Определите, на какой высоте его скорость будет равна v = 10 м/с. Во сколько раз уменьшится потенциальная энергия тела на этой высоте? Сопротивлением движению пренебречь. Коэффициент g принять равным 10 Н/кг.

Решение:

Дано:
H = 10 м
v = 10 м/с
g = 10 Н/кг

Найти:
h, во сколько раз уменьшится E_p

Решение:

1. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. В начальный момент тело покоится на высоте H, его энергия - потенциальная. В момент, когда скорость тела равна v, оно находится на высоте h. Его энергия - сумма кинетической и потенциальной энергий. \( E_p \text{ (начальная)} = E_k \text{ (конечная)} + E_p \text{ (конечная)} \)
2. \( m \cdot g \cdot H = \frac{1}{2} m \cdot v^2 + m \cdot g \cdot h \).
3. Сокращаем массу \( m \): \( g \cdot H = \frac{1}{2} v^2 + g \cdot h \).
4. Выражаем высоту \( h \): \( g \cdot h = g \cdot H - \frac{1}{2} v^2 \Rightarrow h = H - \frac{v^2}{2g} \).
5. Подставляем числовые значения: \( h = 10 \text{ м} - \frac{(10 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}} = 10 - \frac{100}{20} = 10 - 5 = 5 \text{ м} \).
6. Теперь найдем, во сколько раз уменьшится потенциальная энергия. Начальная потенциальная энергия: \( E_{p1} = m \cdot g \cdot H \). Конечная потенциальная энергия: \( E_{p2} = m \cdot g \cdot h \).
7. Отношение начальной потенциальной энергии к конечной: \( \frac{E_{p1}}{E_{p2}} = \frac{m \cdot g \cdot H}{m \cdot g \cdot h} = \frac{H}{h} \).
8. Подставляем значения: \( \frac{10 \text{ м}}{5 \text{ м}} = 2 \).

Ответ: Высота h = 5 м. Потенциальная энергия уменьшится в 2 раза.