4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке: f(x) = x² + 3x + 1, x₀=1

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \).

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 1 \):
   \( f(1) = 1^2 + 3(1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5 \)
2. Найдем производную функции \( f(x) = x^2 + 3x + 1 \):
   \( f'(x) = (x^2)' + (3x)' + (1)' = 2x + 3 \)
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
   \( f'(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 \)
4. Составим уравнение касательной:
   \( y = f(1) + f'(1)(x - 1) \)
   \( y = 5 + 5(x - 1) \)
   \( y = 5 + 5x - 5 \)
   \( y = 5x \)

Ответ: \( y = 5x \).