4. Сократить дробь: $$\frac{18^{n+3}}{3^{2n+5} \cdot 2^{n-2}}$$

Решение:

Чтобы сократить дробь, представим числитель и знаменатель в виде произведения простых множителей:

Числитель: \( 18^{n+3} = (2 \cdot 3^2)^{n+3} = 2^{n+3} \cdot (3^2)^{n+3} = 2^{n+3} \cdot 3^{2(n+3)} = 2^{n+3} \cdot 3^{2n+6} \)

Знаменатель: \( 3^{2n+5} \cdot 2^{n-2} \)

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\[ \frac{2^{n+3} \cdot 3^{2n+6}}{3^{2n+5} \cdot 2^{n-2}} = 2^{(n+3) - (n-2)} \cdot 3^{(2n+6) - (2n+5)} \]

\[ = 2^{n+3-n+2} \cdot 3^{2n+6-2n-5} = 2^5 \cdot 3^1 \]

\[ = 32 \cdot 3 = 96 \]

Ответ: 96