4. Решите задачу. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 45 км, выехал велосипедист. Через 30 мин вслед за ним выехал второй велосипедист, который прибыл в пункт В на 30 мин раньше первого. Какова скорость первого велосипедиста, если скорость второго велосипедиста на 3 км/ч больше скорости первого?

Решение:

Обозначим:

• \( v_1 \) — скорость первого велосипедиста (км/ч).
• \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста (км/ч).
• \( t_1 \) — время в пути первого велосипедиста (ч).
• \( t_2 \) — время в пути второго велосипедиста (ч).

Из условия задачи известно:

• Расстояние \( S = 45 \) км.
• Второй велосипедист выехал через 30 мин \( = 0.5 \) ч позже первого.
• Второй велосипедист прибыл в пункт В на 30 мин \( = 0.5 \) ч раньше первого.
• Скорость второго велосипедиста на 3 км/ч больше скорости первого: \( v_2 = v_1 + 3 \).

Запишем время в пути для каждого велосипедиста:

• \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{45}{v_1} \)
• \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{45}{v_1 + 3} \)

Так как второй велосипедист выехал позже на 0.5 часа и прибыл раньше на 0.5 часа, разница во времени их движения составила 1 час: \( t_1 - t_2 = 1 \).

Подставим выражения для времени:

\( \frac{45}{v_1} - \frac{45}{v_1 + 3} = 1 \)

Умножим обе части уравнения на \( v_1(v_1 + 3) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\( 45(v_1 + 3) - 45v_1 = v_1(v_1 + 3) \)

Раскроем скобки:

\( 45v_1 + 135 - 45v_1 = v_1^2 + 3v_1 \)

Упростим:

\( 135 = v_1^2 + 3v_1 \)

Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение:

\( v_1^2 + 3v_1 - 135 = 0 \)

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 · 1 · (-135) = 9 + 540 = 549 \)

\( √{D} = √{549} ≈ 23.43 \)

Найдем \( v_1 \):

\( v_1 = \frac{-3 ± √{549}}{2} \)

Так как скорость не может быть отрицательной, возьмем положительное значение:

\( v_1 = \frac{-3 + √{549}}{2} ≈ \frac{-3 + 23.43}{2} = \frac{20.43}{2} ≈ 10.215 \)

Проверим, если \( v_1 = 10.215 \), то \( v_2 = 10.215 + 3 = 13.215 \).

\( t_1 = \frac{45}{10.215} ≈ 4.405 \) ч.

\( t_2 = \frac{45}{13.215} ≈ 3.405 \) ч.

\( t_1 - t_2 = 4.405 - 3.405 = 1 \) ч. Условие выполнено.

Ответ: Скорость первого велосипедиста примерно 10.215 км/ч.