4. Решите систему уравнений: 2) \(\begin{cases} \frac{5}{x} - \frac{6}{y} = 2 \\ \frac{10}{x} - \frac{9}{y} = 13 \end{cases}\)

Решение:

Введём замену переменных: пусть \( u = \frac{1}{x} \) и \( v = \frac{1}{y} \). Тогда система примет вид:

\[\begin{cases} 5u - 6v = 2 \\ 10u - 9v = 13 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2:

\[\begin{cases} 10u - 12v = 4 \\ 10u - 9v = 13 \end{cases}\]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[ (10u - 12v) - (10u - 9v) = 4 - 13 \]

\[ -3v = -9 \]

\[ v = 3 \]

Подставим \( v = 3 \) в первое уравнение \( 5u - 6v = 2 \):

\[ 5u - 6(3) = 2 \]

\[ 5u - 18 = 2 \]

\[ 5u = 20 \]

\[ u = 4 \]

Теперь вернёмся к исходным переменным:

\[ u = \frac{1}{x} = 4 \implies x = \frac{1}{4} \]

\[ v = \frac{1}{y} = 3 \implies y = \frac{1}{3} \]

Ответ: \( x = \frac{1}{4}, y = \frac{1}{3} \).