4. Решите систему уравнений: 1) \(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 11 \\ \frac{1}{x} - \frac{2}{y} = -1 \end{cases}\)

Решение:

Введём замену переменных: пусть \( u = \frac{1}{x} \) и \( v = \frac{2}{y} \). Тогда система примет вид:

\[\begin{cases} u + v = 11 \\ u - v = -1 \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

\[ (u + v) + (u - v) = 11 + (-1) \]

\[ 2u = 10 \]

\[ u = 5 \]

Подставим \( u = 5 \) в первое уравнение:

\[ 5 + v = 11 \]

\[ v = 11 - 5 = 6 \]

Теперь вернёмся к исходным переменным:

\[ u = \frac{1}{x} = 5 \implies x = \frac{1}{5} \]

\[ v = \frac{2}{y} = 6 \implies y = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Ответ: \( x = \frac{1}{5}, y = \frac{1}{3} \).