4. Радиус основания конуса равен 10 см, а высота 15 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 2 см от его вершины.

Решение:

Дан конус с радиусом основания \( R = 10 \) см и высотой \( H = 15 \) см. Сечение проведено плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии \( h = 2 \) см от вершины.

1. Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, является кругом. Высота отсечённого малого конуса \( h = 2 \) см.
2. Рассмотрим подобные треугольники: большой треугольник, образованный высотой, радиусом основания и образующей конуса, и малый треугольник, образованный высотой малого конуса, радиусом сечения \( r \) и образующей малого конуса.
3. Из подобия треугольников следует отношение радиусов к высотам: \( \frac{r}{R} = \frac{h}{H} \).
4. Найдём радиус сечения \( r \): \( \frac{r}{10} = \frac{2}{15} \).
5. \( r = \frac{10 \cdot 2}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \) см.
6. Площадь сечения (круга) равна: \( S_{сеч} = \pi r^2 \).
7. Подставим значение \( r \): \( S_{сеч} = \pi \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \pi \frac{16}{9} = \frac{16\pi}{9} \) см².

Ответ: Площадь сечения равна \(\frac{16\pi}{9}\) см².