4. Последовательный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 400 пФ, катушки индуктивности 1 мГн и резистора с сопротивлением 2 Ома. Найти: коэффициент затухания, частоту затухающих колебаний в контуре, добротность контура.

Решение:

Для последовательного колебательного контура с активным сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью C:

1) Коэффициент затухания (β):

• \[ \beta = \frac{R}{2L} \]

Подставим значения:

• \[ L = 1 \text{ мГн} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \]
• \[ R = 2 \text{ Ом} \]
• \[ \beta = \frac{2 \text{ Ом}}{2 \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}} = \frac{1}{10^{-3}} = 1000 \text{ с}^{-1} \]

2) Частота затухающих колебаний (ν'):

Циклическая частота затухающих колебаний ω' связана с собственной циклической частотой ω₀ и коэффициентом затухания β соотношением:

• \[ \omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} \]

Сначала найдем собственную циклическую частоту ω₀:

• \[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

Дано:

• \[ C = 400 \text{ пФ} = 400 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 4 \cdot 10^{-10} \text{ Ф} \]
• \[ L = 1 \text{ мГн} = 10^{-3} \text{ Гн} \]

• \[ L C = 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 4 \cdot 10^{-10} \text{ Ф} = 4 \cdot 10^{-13} \text{ Гн} \cdot \text{Ф} \]
• \[ \sqrt{LC} = \sqrt{4 \cdot 10^{-13}} = 2 \cdot 10^{-6.5} = 2 \cdot 10^{-6} \sqrt{10} \text{ с} \approx 6,32 \cdot 10^{-6} \text{ с} \]
• \[ \omega_0 = \frac{1}{2 \cdot 10^{-6} \sqrt{10}} = \frac{10^6}{2 \sqrt{10}} = \frac{5 \cdot 10^5}{\sqrt{10}} \text{ рад/с} \approx 158114 \text{ рад/с} \]

Теперь найдем ω':

• \[ \omega'^2 = \omega_0^2 - \beta^2 = (158114)^2 - (1000)^2 \]
• \[ \omega_0^2 = \frac{1}{LC} = \frac{1}{4 \cdot 10^{-13}} = 0,25 \cdot 10^{13} = 2,5 \cdot 10^{12} \text{ с}^{-2} \]
• \[ \beta^2 = (1000)^2 = 10^6 \text{ с}^{-2} \]
• \[ \omega'^2 = 2,5 \cdot 10^{12} - 10^6 \text{ с}^{-2} \approx 2,5 \cdot 10^{12} \text{ с}^{-2} \]
• \[ \omega' \approx \sqrt{2,5 \cdot 10^{12}} = \sqrt{2,5} \cdot 10^6 \text{ рад/с} \approx 1,58 \cdot 10^6 \text{ рад/с} \]

Частота затухающих колебаний ν':

• \[
  u' = \frac{\omega'}{2\pi} \approx \frac{1,58 \cdot 10^6}{2\pi} \text{ Гц} \approx 251555 \text{ Гц} \approx 251.6 \text{ кГц} \]

3) Добротность контура (Q):

Добротность контура определяется как отношение реактивной мощности к активной мощности, или:

• \[ Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R} \]

Используем первое выражение:

• \[ Q = \frac{158114 \text{ рад/с} \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}}{2 \text{ Ом}} = \frac{158,114}{2} \approx 79,06 \]

Или, используя второе выражение:

• \[ Q = \frac{1}{158114 \text{ рад/с} \cdot 4 \cdot 10^{-10} \text{ Ф} \cdot 2 \text{ Ом}} = \frac{1}{1,2649 \cdot 10^{-3}} \approx 790,6 \]

Проверим расчеты:

ω₀ ≈ 158114 рад/с.

β = 1000 с⁻¹.

ω₀² ≈ 2.500.000.000. β² = 1.000.000.

ω'² = ω₀² - β² = 2.500.000.000 - 1.000.000 = 2.499.000.000.

ω' = ω₀ \sqrt{1 - (\beta/\omega₀)²} \approx ω₀ ≈ 158114 рад/с.

Частота затухающих колебаний ν' = ω'/2π ≈ 158114 / (2π) ≈ 25155 Гц = 25.155 кГц.

Добротность Q = ω₀L/R = 158114 * 0.001 / 2 = 79.057.