4. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите стороны треугольника.

Решение:

Пусть стороны равнобедренного тупоугольного треугольника равны \( a, a, b \). Периметр \( P = 2a + b = 45 \) см.

Случай 1: Основание \( b \) больше боковой стороны \( a \) на 9 см. \( b = a + 9 \).

Подставим во второе уравнение:

\( 2a + (a + 9) = 45 \)

\( 3a + 9 = 45 \)

\( 3a = 36 \)

\( a = 12 \) см.

Тогда \( b = 12 + 9 = 21 \) см.

Стороны: 12 см, 12 см, 21 см.

Проверим, является ли треугольник тупоугольным. В тупоугольном треугольнике больший угол тупой. Против большей стороны лежит больший угол. Сторона 21 см — наибольшая. Проверим теорему косинусов: \( b^2 > a^2 + a^2 \) ?

\( 21^2 > 12^2 + 12^2 \)

\( 441 > 144 + 144 \)

\( 441 > 288 \) — условие выполняется, треугольник тупоугольный.

Случай 2: Боковая сторона \( a \) больше основания \( b \) на 9 см. \( a = b + 9 \).

Подставим во второе уравнение:

\( 2(b + 9) + b = 45 \)

\( 2b + 18 + b = 45 \)

\( 3b + 18 = 45 \)

\( 3b = 27 \)

\( b = 9 \) см.

Тогда \( a = 9 + 9 = 18 \) см.

Стороны: 18 см, 18 см, 9 см.

Проверим, является ли треугольник тупоугольным. Больший угол лежит против стороны 18 см. Проверим теорему косинусов: \( a^2 > a^2 + b^2 \) ? (так как \( a=a \), то сравним \( a^2 \) с \( a^2 + b^2 \), что невозможно, т.к. \( b^2 \) положительно. Сравниваем \( 18^2 \) с \( 18^2 + 9^2 \), что очевидно не даст тупого угла. Сравниваем \( 18^2 \) с \( 9^2 + 18^2 \) — это тоже не даст тупого угла. Значит, тупой угол может лежать только против одной из боковых сторон, и он должен быть больше 90°. А это невозможно, так как сумма двух углов будет больше 180°). Проверим, является ли треугольник остроугольным: \( a^2 < a^2 + b^2 \) ? \( 18^2 < 18^2 + 9^2 \) — верно. Углы при основании равны \( \beta \), тупой угол \( \beta \) против стороны \( a = 18 \). \( \beta = \beta \). \( 18^2 < 18^2 + 9^2 \) — верно. В равнобедренном треугольнике тупой угол может быть только при основании. Значит, \( a^2 > a^2 + b^2 \) неверно. Значит, углы при основании должны быть тупыми, что невозможно. То есть, этот случай не подходит для тупоугольного треугольника, т.к. сумма углов при основании будет больше 180°.

Ответ: Стороны треугольника равны 12 см, 12 см, 21 см.