3. Отрезок DM – биссектриса треугольника CDE. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если ∠ CDE = 68°.

Решение:

Дано:

\( \Delta CDE \), \( DM \) — биссектриса.

\( MN \parallel CD \), \( M \in DE \), \( N \in DE \).

\( \angle CDE = 68° \).

Найти: Углы \( \Delta DMN \) ( \( \angle D, \angle MDN, \angle DMN \) ).

Решение:

1. Так как \( MN \parallel CD \) и \( DE \) — секущая, то \( \angle DMN = \angle CDE = 68° \) (как соответственные углы).
2. Так как \( MN \parallel CD \) и \( DM \) — секущая, то \( \angle DMN = \angle CDM \) (как накрест лежащие углы).
3. \( DM \) — биссектриса \( \angle CDE \), значит, \( \angle CDM = \angle CDE / 2 = 68° / 2 = 34° \).
4. Следовательно, \( \angle DMN = 34° \).
5. В \( \Delta DMN \) известны два угла: \( \angle D = \angle CDE = 68° \) и \( \angle MDN = 34° \).
6. Найдем третий угол \( \angle DMN \) в \( \Delta DMN \): \( \angle DMN = 180° - \angle D - \angle MDN = 180° - 68° - 34° = 78° \).

Ответ: Углы треугольника DMN равны: \( \angle D = 68° \), \( \angle MDN = 34° \), \( \angle DMN = 78° \).