4. Отрезок АК - биссектриса треугольника АСЕ. На стороне АС отметили точку М такую, что АМ = МК. Докажите, что MK || AE.

Решение:

Рассмотрим \( \triangle AMK \). Так как \( AM = MK \), то \( \triangle AMK \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle MAK = \angle MKA \).

\( AK \) — биссектриса \( \triangle ACE \), поэтому \( \angle CAK = \angle KAE \).

\( \angle MAK \) — это \( \angle CAK \).

Значит, \( \angle MKA = \angle CAK \).

\( \angle MKA \) и \( \angle KAE \) являются внутренними накрест лежащими углами при прямых \( MK \) и \( AE \) и секущей \( AK \).

Так как \( \angle MKA = \angle KAE \) ( \( \angle MKA = \angle MAK = \angle CAK \)), то \( MK \parallel AE \).

Доказано.