4. Отметьте на координатной плоскости точки A(5;2), B(2;1), C(–3;4), D(−2;2). Проведите луч АВ и прямую CD. Найдите координаты точки пересечения луча АВ и прямой CD.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо построить координатную плоскость, отметить на ней точки A, B, C, D, провести луч AB и прямую CD, а затем найти точку их пересечения. Так как построение графика не может быть представлено в текстовом виде, решим задачу аналитически.

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(5;2) и B(2;1).
2. Угловой коэффициент \( k_{AB} = \frac{1-2}{2-5} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \).
3. Уравнение прямой AB: \( y - y_A = k_{AB}(x - x_A) \) → \( y - 2 = \frac{1}{3}(x - 5) \) → \( 3(y - 2) = x - 5 \) → \( 3y - 6 = x - 5 \) → \( x - 3y + 1 = 0 \).
4. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки C(–3;4) и D(−2;2).
5. Угловой коэффициент \( k_{CD} = \frac{2-4}{-2-(-3)} = \frac{-2}{-2+3} = \frac{-2}{1} = -2 \).
6. Уравнение прямой CD: \( y - y_C = k_{CD}(x - x_C) \) → \( y - 4 = -2(x - (-3)) \) → \( y - 4 = -2(x + 3) \) → \( y - 4 = -2x - 6 \) → \( 2x + y + 2 = 0 \).
7. Найдем точку пересечения прямых AB и CD, решив систему уравнений:

\[\begin{cases} x - 3y + 1 = 0 \\ 2x + y + 2 = 0 \end{cases} \]

6. Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = -2x - 2 \).
7. Подставим \( y \) в первое уравнение: \( x - 3(-2x - 2) + 1 = 0 \) → \( x + 6x + 6 + 1 = 0 \) → \( 7x + 7 = 0 \) → \( 7x = -7 \) → \( x = -1 \).
8. Найдем \( y \): \( y = -2(-1) - 2 = 2 - 2 = 0 \).
9. Точка пересечения прямых — (–1; 0).
10. Проверим, принадлежит ли точка пересечения лучу AB. Для этого координата x точки пересечения (–1) должна быть меньше или равна координате x точки B (2), так как луч направлен от A к B. Действительно, –1 < 2.

Ответ: Координаты точки пересечения луча АВ и прямой CD равны (–1; 0).