4. Около окружности описана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найти площадь трапеции.

Решение:

1. Обозначим среднюю линию трапеции как \( m \). По условию, \( m = 5 \).

2. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \( m = \frac{a + b}{2} \), где \( a \) и \( b \) — основания трапеции.

3. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: \( S = m \cdot h \).

4. Нам нужно найти высоту \( h \).

5. Трапеция равнобедренная и описана около окружности. Это значит, что сумма противоположных боковых сторон равна сумме оснований. Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны. Пусть боковая сторона равна \( c \). Тогда \( c + c = a + b \), то есть \( 2c = 2m \), \( c = m \). В нашем случае \( c = 5 \).

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \), боковой стороной \( c \) и отрезком основания. Пусть \( \alpha \) — острый угол при основании трапеции. Тогда \( \sin(\alpha) = \frac{h}{c} \).

7. По условию, \( \sin(\alpha) = 0.8 \).

8. Находим высоту: \( h = c \sin(\alpha) = 5 \cdot 0.8 = 4 \).

9. Теперь находим площадь трапеции: \( S = m \cdot h = 5 \cdot 4 = 20 \).

Ответ: Площадь трапеции равна 20.