3. Найти площадь треугольника с углами 15° и 60°, вписанного в окружность радиуса 2.

Решение:

1. В треугольнике известны два угла: \( \alpha = 15^{\circ} \) и \( \beta = 60^{\circ} \).

2. Найдем третий угол: \( \gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (15^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ} \).

3. Радиус описанной окружности \( R = 2 \).

4. Для нахождения площади треугольника, вписанного в окружность, воспользуемся формулой: \( S = \frac{abc}{4R} \), где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

5. Найдем стороны треугольника, используя теорему синусов: \( a = 2R \sin(\alpha) \), \( b = 2R \sin(\beta) \), \( c = 2R \sin(\gamma) \).

6. Подставим значения \( R = 2 \), \( \alpha = 15^{\circ} \), \( \beta = 60^{\circ} \), \( \gamma = 105^{\circ} \):

• \( a = 2 \cdot 2 \sin(15^{\circ}) = 4 \sin(15^{\circ}) \)
• \( b = 2 \cdot 2 \sin(60^{\circ}) = 4 \sin(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \)
• \( c = 2 \cdot 2 \sin(105^{\circ}) = 4 \sin(105^{\circ}) \)

7. Значения синусов: \( \sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) и \( \sin(105^{\circ}) = \sin(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \sin(60^{\circ})\cos(45^{\circ}) + \cos(60^{\circ})\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).

8. Подставляем значения синусов в выражения для сторон:

• \( a = 4 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \sqrt{6} - \sqrt{2} \)
• \( c = 4 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2} \)

9. Теперь найдем площадь по формуле \( S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma) \) (или по другой комбинации сторон и углов):

\( S = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{3}) \cdot \sin(105^{\circ}) \)

\( S = \(\sqrt{6} - \sqrt{2}\sqrt{3}\ \\) \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) \)

\( S = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \cdot \sqrt{3} \)

\( S = \frac{6 - 2}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{4}{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \).

Или, используя формулу \( S = 2R^2 \sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma) \):

\( S = 2 \cdot (2)^2 \cdot \sin(15^{\circ}) \cdot \sin(60^{\circ}) \cdot \sin(105^{\circ}) \)

\( S = 8 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)

\( S = 8 \cdot \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16} \cdot \sqrt{3} \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot (6 - 2) \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \).

Ответ: Площадь треугольника равна 2\(\sqrt{3}\).