1. Около четырехугольника KLMN описана окружность. Найти угол MLN, если LM = MN, а угол LKN равен 40°.

Решение:

1. Так как четырёхугольник KLMN вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°. Следовательно, \( \angle LKN + \angle LMN = 180^{\circ} \) и \( \angle KLM + \angle LNM = 180^{\circ} \).

2. Нам дан угол \( \angle LKN = 40^{\circ} \). Тогда \( \angle LMN = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).

3. В условии сказано, что \( LM = MN \). Это означает, что треугольник LMN — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому \( \angle MLN = \angle MNL \).

4. Сумма углов в треугольнике LMN равна 180°. Следовательно, \( \angle MLN + \angle MNL + \angle LMN = 180^{\circ} \).

5. Подставляем известные значения: \( \angle MLN + \angle MLN + 140^{\circ} = 180^{\circ} \).

6. Решаем уравнение: \( 2 \angle MLN = 180^{\circ} - 140^{\circ} \) \( 2 \angle MLN = 40^{\circ} \) \( \angle MLN = 20^{\circ} \).

Ответ: угол MLN равен 20°.