4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120° Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28см.

Решение:

Пусть одна сторона треугольника равна $$a$$. Тогда другая сторона равна $$a + 8$$. Угол между ними $$\gamma = 120^{\circ}$$. Третья сторона $$c = 28$$ см.

Используем теорему косинусов для нахождения одной из неизвестных сторон (например, $$a$$):

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]

Подставим известные значения:

\[ 28^2 = a^2 + (a+8)^2 - 2 \cdot a \cdot (a+8) \cos 120^{\circ} \]

\[ 784 = a^2 + (a^2 + 16a + 64) - 2a(a+8) \cdot (-\frac{1}{2}) \]\[ 784 = a^2 + a^2 + 16a + 64 + a(a+8) \]\[ 784 = 2a^2 + 16a + 64 + a^2 + 8a \]\[ 784 = 3a^2 + 24a + 64 \]\[ 3a^2 + 24a + 64 - 784 = 0 \]\[ 3a^2 + 24a - 720 = 0 \]

Разделим все на 3:

\[ a^2 + 8a - 240 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

• Находим дискриминант:\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 64 + 960 = 1024 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32 \]
• Находим корни уравнения:\[ a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 32}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12 \]\[ a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 32}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20 \]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, $$a = 12$$ см.

• Находим вторую сторону:\[ b = a + 8 = 12 + 8 = 20 \text{ см} \]
• Находим периметр:\[ P = a + b + c = 12 + 20 + 28 = 60 \text{ см} \]

Ответ: Периметр треугольника равен 60 см.