4. Найдите значение выражения: √40 · 60 · 75.

Решение:

Вычислим значение выражения \(\sqrt{40 \cdot 60 \cdot 75}\).

Разложим числа под корнем на множители:

\( 40 = 4 \cdot 10 = 2^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5 \)

\( 60 = 6 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \)

\( 75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2 \)

Теперь перемножим:

\( 40 \cdot 60 \cdot 75 = (2^3 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5^2) \)

Сгруппируем одинаковые множители:

\( = 2^{3+2} \cdot 3^{1+1} \cdot 5^{1+1+2} \)

\( = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \)

Теперь извлечём корень:

\( \sqrt{2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^4} = \sqrt{2^4 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 5^4} \)

\( = \sqrt{2^4} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{2} \)

\( = 2^{4/2} \cdot 3^{2/2} \cdot 5^{4/2} \cdot \sqrt{2} \)

\( = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot \sqrt{2} \)

\( = 4 \cdot 3 \cdot 25 \cdot \sqrt{2} \)

\( = 12 \cdot 25 \cdot \sqrt{2} \)

\( = 300 \sqrt{2} \)

Ответ: 300√2