4. Найдите сторону AB и площадь треугольника ABC, если AC=20, BC=15, угол ACB равен 60°.

По теореме косинусов для стороны AB:

\(AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos\angle ACB\).

\(AB^2=20^2+15^2-2\cdot20\cdot15\cdot\frac12=325\), поэтому \(AB=\sqrt{325}=5\sqrt{13}\).

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\(S=\frac12 AC\cdot BC\cdot\sin60^\circ=\frac12\cdot20\cdot15\cdot\frac{\sqrt3}{2}=75\sqrt3\).

Ответ: \(AB=5\sqrt{13}\), площадь \(75\sqrt3\).