4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

Пошаговое решение:

Краткое пояснение: Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \), где \( f(x) ≥ g(x) \) на отрезке \( [a, b] \), вычисляется как \( ∫_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \>.

1. Определяем функции и их пересечения:
   У нас есть две функции: \( y = -x^2 + 5 \) (парабола) и \( y = x + 3 \) (прямая).
   Найдем точки их пересечения, приравняв уравнения:
   \( -x^2 + 5 = x + 3 \)
   \( -x^2 - x + 2 = 0 \)
   \( x^2 + x - 2 = 0 \)
   Решаем квадратное уравнение (например, по теореме Виета): \( x_1 = 1, x_2 = -2 \>.
   Из графика видно, что \( x \) изменяется от \( -2 \) до \( 1 \>.
   На этом интервале парабола \( y = -x^2 + 5 \) находится выше прямой \( y = x + 3 \> (например, при \( x=0 \): \( y_{парабола} = 5 \), \( y_{прямая} = 3 \>).
2. Вычисляем площадь:
   Площадь \( S \) будет равна интегралу от разности верхней и нижней функций:
   \( S = ∫_{-2}^{1} ((-x^2 + 5) - (x + 3)) dx \)
   \( S = ∫_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx \)
   Находим первообразную: \( F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \)
   Применяем формулу Ньютона-Лейбница: \( F(1) - F(-2) \)
   \( F(1) = -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{-2 - 3 + 12}{6} = \frac{7}{6} \)
   \( F(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) = -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - 6 = \frac{8 - 18}{3} = -\frac{10}{3} \)
   \( S = F(1) - F(-2) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7 + 20}{6} = \frac{27}{6} \)
   Сокращаем дробь: \( S = \frac{9}{2} \)

Ответ: 3/2