4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x² – 6x + 10, прямыми x = -1, x = 3 и осью абсцисс, изобразив рисунок.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) \), осью абсцисс и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется как определённый интеграл:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \]

В данном случае \( f(x) = x^2 - 6x + 10 \), \( a = -1 \), \( b = 3 \).

Сначала проверим, где функция пересекает ось абсцисс, т.е. найдём корни уравнения \( x^2 - 6x + 10 = 0 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4 \).

Так как \( D < 0 \) и ветви параболы направлены вверх (коэффициент при \( x^2 \) равен 1, что больше 0), функция \( f(x) \) всегда положительна.

Поэтому площадь равна:

\[ S = \int_{-1}^{3} (x^2 - 6x + 10) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + 10x \right]_{-1}^{3} = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 10x \right]_{-1}^{3} \]\[ S = \left( \frac{3^3}{3} - 3(3)^2 + 10(3) \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - 3(-1)^2 + 10(-1) \right) \]\[ S = \left( \frac{27}{3} - 3(9) + 30 \right) - \left( \frac{-1}{3} - 3(1) - 10 \right) \]\[ S = \left( 9 - 27 + 30 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 3 - 10 \right) \]\[ S = 12 - \left( -\frac{1}{3} - 13 \right) \]\[ S = 12 + \frac{1}{3} + 13 \]\[ S = 25 + \frac{1}{3} = \frac{75}{3} + \frac{1}{3} = \frac{76}{3} \]

Примерный рисунок:

Ответ: Площадь фигуры равна \(\frac{76}{3}\).