1. Укажите наибольшее и наименьшее значения функции y = x³ + 6x² + 9x на отрезке [-4;0].

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно:

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю.
3. Вычислить значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, и на концах отрезка.
4. Сравнить полученные значения.

1. Производная функции \( y = x^3 + 6x^2 + 9x \):

\[ y' = 3x^2 + 12x + 9 \]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ 3x^2 + 12x + 9 = 0 \]\[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]\[ (x+1)(x+3) = 0 \]\[ x_1 = -1, \quad x_2 = -3 \]

Обе критические точки \( -1 \) и \( -3 \) принадлежат отрезку \( [-4; 0] \).

3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

• При \( x = -4 \): \( y = (-4)^3 + 6(-4)^2 + 9(-4) = -64 + 6(16) - 36 = -64 + 96 - 36 = -4 \)
• При \( x = -3 \): \( y = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 6(9) - 27 = -27 + 54 - 27 = 0 \)
• При \( x = -1 \): \( y = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4 \)
• При \( x = 0 \): \( y = (0)^3 + 6(0)^2 + 9(0) = 0 \)

4. Сравним полученные значения:

Значения функции: \( -4, 0, -4, 0 \).

Наибольшее значение равно 0.

Наименьшее значение равно -4.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 0, наименьшее значение равно -4.