4)Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 90°.

Решение:

Пусть дан треугольник ABC, и медиана CM проведена из вершины C к стороне AB. Пусть CM образует углы \( \angle ACM = 30° \) и \( \angle BCM = 90° \).

Обозначим стороны AC = b и BC = a.

В треугольнике ACM, по теореме синусов:

\( \frac{AM}{\sin 30°} = \frac{AC}{\sin \angle AMC} \) \( \Rightarrow \frac{AM}{1/2} = \frac{b}{\sin \angle AMC} \)

В треугольнике BCM, по теореме синусов:

\( \frac{BM}{\sin 90°} = \frac{BC}{\sin \angle BMC} \) \( \Rightarrow \frac{BM}{1} = \frac{a}{\sin \angle BMC} \)

Так как M — середина AB, то AM = BM.

Также, \( \angle AMC + \angle BMC = 180° \), следовательно, \( \sin \angle AMC = \sin \angle BMC \).

Из равенства AM = BM следует:

\( \frac{b}{2 \sin \angle AMC} = \frac{a}{\sin \angle BMC} \)

Так как \( \sin \angle AMC = \sin \angle BMC \), то:

\( \frac{b}{2} = a \) \( \Rightarrow \frac{b}{a} = 2 \)

Отношение сторон AC к BC равно 2.

Ответ: 2:1.