2) Свойство углов при основании равнобедренной трапеции.

Свойство углов при основании равнобедренной трапеции:

Углы при каждом из оснований равнобедренной трапеции равны.

Формулировка:

• В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны.
• Если ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AB и CD, то $$\angle DAB = \angle CBA$$ и $$\angle ADC = \angle BCD$$.

Доказательство (кратко):

Проведем высоту из вершины B к основанию AD (обозначим точку пересечения H). Получим прямоугольный треугольник ABH. Также можно провести высоту из C к AD.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны ($$AD = BC$$).

Если провести высоты из концов меньшего основания к большему основанию, то образуются два равных прямоугольных треугольника.

Пусть $$h$$ — высота, опущенная из B на AD. Тогда $$\triangle ABH$$ — прямоугольный.

Аналогично, если провести высоту из C на AD (обозначим точку пересечения H'), то $$\triangle CDH'$$ — прямоугольный.

В равнобедренной трапеции $$AB = CD$$.

Рассмотрим углы при основании AD.

Проведем $$BH \perp AD$$ и $$CE \perp AD$$. В прямоугольнике $$BCEH$$, $$BC = HE$$.

В прямоугольных треугольниках $$\triangle ABH$$ и $$\triangle DCE$$:

• $$AB = CD$$ (боковые стороны трапеции).
• $$BH = CE$$ (высоты).

Следовательно, $$\triangle ABH = \triangle DCE$$ (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $$\angle BAH = \angle CDE$$.

Это означает, что углы при основании AD равны.

Аналогично доказывается равенство углов при основании BC.