3)В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, AD = CD, ∠B = 60°, ∠D = 110°. Найдите угол А. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Выпуклый четырехугольник ABCD.
• $$AB = BC$$.
• $$AD = CD$$.
• $$\angle B = 60°$$.
• $$\angle D = 110°$$.

Найти: $$\angle A$$ (в градусах).

Решение:

Проведем диагональ BD.

Рассмотрим $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CBD$$.

В $$\triangle ABD$$: $$AD = CD$$. Это не поможет.

Рассмотрим $$\triangle ABC$$. Так как $$AB = BC$$, то $$\triangle ABC$$ — равнобедренный.

Угол при вершине B равен $$60°$$. Следовательно, $$\triangle ABC$$ — равносторонний. Значит, $$AB = BC = AC = x$$.

$$\angle BAC = \angle BCA = (180° - 60°)/2 = 60°$$.

Рассмотрим $$\triangle ADC$$. Так как $$AD = CD$$, то $$\triangle ADC$$ — равнобедренный.

Угол при вершине D равен $$110°$$.

Углы при основании AC равны: $$\angle DAC = \angle DCA = (180° - 110°)/2 = 70°/2 = 35°$$.

Теперь найдем угол A четырехугольника ABCD.

$$\angle A = \angle BAC + \angle DAC$$.

$$\angle A = 60° + 35° = 95°$$.

Найдем угол C четырехугольника ABCD.

$$\angle C = \angle BCA + \angle DCA$$.

$$\angle C = 60° + 35° = 95°$$.

Сумма углов четырехугольника равна $$360°$$.

$$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 95° + 60° + 95° + 110° = 360°$$.

Проверка верна.

Ответ: 95