4*. На основании ВС равнобедренного треугольника АВС взяты точки М и К. Докажите, что если ∠ BAM = ∠ CAK, то AM=AK.

Решение:

1. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием ВС, значит, AB = AC и ∠ABC = ∠ACB.

2. Рассмотрим треугольники ΔABM и ΔACK.

• AB = AC (по свойству равнобедренного треугольника).
• ∠BAM = ∠CAK (по условию).
• ∠ABC = ∠ACB (по свойству равнобедренного треугольника).

3. В треугольнике ΔABM: ∠AMB = 180° - ∠BAM - ∠ABC.

4. В треугольнике ΔACK: ∠AKC = 180° - ∠CAK - ∠ACB.

5. Так как ∠BAM = ∠CAK и ∠ABC = ∠ACB, то ∠AMB = ∠AKC.

6. Рассмотрим треугольники ΔABM и ΔACK:

• AB = AC (по свойству равнобедренного треугольника).
• ∠BAM = ∠CAK (по условию).
• ∠AMB = ∠AKC (доказано выше).

7. По двум углам и стороне между ними (2 признак равенства треугольников), ΔABM = ΔACK.

8. Из равенства треугольников следует, что AM = AK.

Доказано.