№4. Лучи ОС и OD делят развернутый угол АОВ на три угла так, что угол BOD в 6 раз меньше угла COD, а угол АОС в 3 раза меньше угла COD. Чему равны градусные меры углов АОС, BOD и COD?

Решение:

Развернутый угол АОВ равен \( 180^{\circ} \).

Пусть градусная мера угла COD равна \( x \) градусов.

Тогда градусная мера угла BOD равна \( \frac{x}{6} \) градусов.

И градусная мера угла АОС равна \( \frac{x}{3} \) градусов.

Составляем уравнение:

\[ \angle AOC + \angle COD + \angle BOD = 180^{\circ} \]

\[ \frac{x}{3} + x + \frac{x}{6} = 180^{\circ} \]

Приводим к общему знаменателю (6):

\[ \frac{2x}{6} + \frac{6x}{6} + \frac{x}{6} = 180^{\circ} \]

\[ \frac{2x + 6x + x}{6} = 180^{\circ} \]

\[ \frac{9x}{6} = 180^{\circ} \]

\[ \frac{3x}{2} = 180^{\circ} \]

\[ 3x = 180^{\circ} \times 2 \]

\[ 3x = 360^{\circ} \]

\[ x = \frac{360^{\circ}}{3} \]

\[ x = 120^{\circ} \]

Таким образом, мера угла COD равна \( 120^{\circ} \).

Мера угла BOD равна \( \frac{x}{6} = \frac{120^{\circ}}{6} = 20^{\circ} \).

Мера угла АОС равна \( \frac{x}{3} = \frac{120^{\circ}}{3} = 40^{\circ} \).

Проверка: \( 40^{\circ} + 120^{\circ} + 20^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: \( \angle AOC = 40^{\circ} \), \( \angle BOD = 20^{\circ} \), \( \angle COD = 120^{\circ} \).