4. Красная граница для некоторого металла составляет 0,6 мкм. Металл освещается светом, длина волны которого 0,4 мкм. Определить максимальную скорость электронов, выбиваемых светом из металла.

Решение:

Используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

\[ h\nu = A_{вых} + E_{кин} \]

Где:

• \( h\nu \) — энергия падающего фотона.
• \( A_{вых} \) — работа выхода электрона из металла.
• \( E_{кин} \) — максимальная кинетическая энергия выбитого электрона.

Энергию фотона можно выразить через длину волны: \( h\nu = \frac{hc}{\lambda} \).

Красная граница \( \lambda_{кр} = 0.6 \) мкм \( = 0.6 \times 10^{-6} \) м.

Длина волны падающего света \( \lambda = 0.4 \) мкм \( = 0.4 \times 10^{-6} \) м.

Работа выхода связана с красной границей: \( A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_{кр}} \).

Максимальная кинетическая энергия \( E_{кин} = \frac{1}{2} m_e v_{max}^2 \).

Подставляем в уравнение Эйнштейна:

\[ \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{кр}} + \frac{1}{2} m_e v_{max}^2 \]

Выражаем максимальную скорость:

\[ \frac{1}{2} m_e v_{max}^2 = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} \right) \]

\[ v_{max}^2 = \frac{2hc}{m_e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} \right) \]

\[ v_{max} = \sqrt{\frac{2hc}{m_e} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{кр}} \right)} \]

Подставляем значения:

\( h = 6.626 \times 10^{-34} \) Дж⋅с,

\( c = 3 \times 10^8 \) м/с,

\( m_e = 9.11 \times 10^{-31} \) кг,

\( \lambda = 0.4 \times 10^{-6} \) м,

\( \lambda_{кр} = 0.6 \times 10^{-6} \) м.

\[ v_{max} = \sqrt{\frac{2 \times (6.626 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8)}{9.11 \times 10^{-31}} \left( \frac{1}{0.4 \times 10^{-6}} - \frac{1}{0.6 \times 10^{-6}} \right)} \]

\[ v_{max} = \sqrt{\frac{39.756 \times 10^{-26}}{9.11 \times 10^{-31}} \left( 2.5 \times 10^6 - 1.667 \times 10^6 \right)} \]

\[ v_{max} = \sqrt{4.364 \times 10^{-5} \times (0.833 \times 10^6)} \]

\[ v_{max} = \sqrt{3.635 \times 10^1} \]

\[ v_{max} \approx \sqrt{36.35} \approx 6.03 \times 10^3 \text{ м/с} \]

Ответ: \( 6.0 \times 10^3 \) м/с.