4. Какой длины волны следует направить лучи на поверхность цинка, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была 2000 км/с? Красная граница фотоэффекта для цинка равна 0,035 мкм.

Решение:

Используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: \( h\nu = A + K_{max} \).

где \( h\nu \) — энергия падающего фотона, \( A \) — работа выхода, \( K_{max} \) — максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Энергия фотона: \( h\nu = \frac{hc}{\lambda} \).

Работа выхода: \( A = \frac{hc}{\lambda_{гр}} \), где \( \lambda_{гр} = 0.035 \text{ мкм} = 0.035 \times 10^{-6} \text{ м} = 35 \times 10^{-9} \text{ м} \).

Максимальная кинетическая энергия: \( K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 \).

Скорость фотоэлектронов \( v_{max} = 2000 \text{ км/с} = 2000 \times 10^3 \text{ м/с} = 2 \times 10^6 \text{ м/с} \).

Масса электрона \( m = 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг} \).

Подставим в уравнение Эйнштейна:

\( \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{гр}} + \frac{1}{2}mv_{max}^2 \)

Выразим \( \frac{hc}{\lambda} \):

\( \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda_{гр}} + \frac{1}{2}mv_{max}^2 \)

Рассчитаем работу выхода \( A \) в Джоулях:

\( A = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}) \times (3 \times 10^8 \text{ м/с})}{35 \times 10^{-9} \text{ м}} \approx \frac{19.878 \times 10^{-26}}{35 \times 10^{-9}} \text{ Дж} \approx 0.568 \times 10^{-17} \text{ Дж} = 5.68 \times 10^{-18} \text{ Дж} \).

Рассчитаем максимальную кинетическую энергию \( K_{max} \) в Джоулях:

\( K_{max} = \frac{1}{2} \times (9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}) \times (2 \times 10^6 \text{ м/с})^2 \)

\( K_{max} = \frac{1}{2} \times 9.11 \times 10^{-31} \times 4 \times 10^{12} \text{ Дж} \)

\( K_{max} = 18.22 \times 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1.822 \times 10^{-18} \text{ Дж} \).

Теперь найдём энергию падающего фотона \( E_{фотона} = A + K_{max} \):

\( E_{фотона} = 5.68 \times 10^{-18} \text{ Дж} + 1.822 \times 10^{-18} \text{ Дж} = 7.502 \times 10^{-18} \text{ Дж} \).

Теперь найдём длину волны \( \lambda \) по формуле \( E_{фотона} = \frac{hc}{\lambda} \), то есть \( \lambda = \frac{hc}{E_{фотона}} \).

\( \lambda = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж·с}) \times (3 \times 10^8 \text{ м/с})}{7.502 \times 10^{-18} \text{ Дж}} \)

\( \lambda = \frac{19.878 \times 10^{-26}}{7.502 \times 10^{-18}} \text{ м} \approx 2.65 \times 10^{-8} \text{ м} \).

Переведем в нанометры: \( 2.65 \times 10^{-8} \text{ м} = 26.5 \text{ нм} \).

Ответ: Длина волны должна быть \( \lambda \approx 2.65 \times 10^{-8} \text{ м} \) (или 26.5 нм).