4. Изобразите график функции, укажите его свойства: нули функции, промежутки знакопостоянства, [часть перечня свойств обрезана], наименьшее значение функции, четность/нечетность. а) \(y=(x-1)^3\); б) \(y=2\cdot(x-3)^{-1}\).

а) \(y=(x-1)^3\). Это график \(y=x^3\), сдвинутый на 1 вправо. Для построения можно отметить точки \((-1;-8)\), \((0;-1)\), \((1;0)\), \((2;1)\), \((3;8)\) и провести через них возрастающую кубическую кривую.

Область определения и область значений: \(\mathbb R\). Нуль: \(x=1\). Функция отрицательна при \(x<1\), положительна при \(x>1\). Возрастает на всей числовой прямой. Наименьшего значения нет. Ни чётная, ни нечётная.

б) \(y=2\cdot(x-3)^{-1}=\dfrac2{x-3}\). Это гипербола, сдвинутая на 3 вправо; её асимптоты — \(x=3\) и \(y=0\). Для построения можно отметить точки \((1;-1)\), \((2;-2)\), \((4;2)\), \((5;1)\).

Область определения: \(\mathbb R\setminus\{3\}\); область значений: \(\mathbb R\setminus\{0\}\). Нулей нет. Функция положительна при \(x>3\), отрицательна при \(x<3\). Убывает на \(( -\infty;3)\) и \((3;+infty)\). Наименьшего значения нет. Ни чётная, ни нечётная: область определения не симметрична относительно нуля.

Правая часть перечня свойств на фотографии обрезана; поэтому дополнительные пункты, которые могли там быть перечислены, установить нельзя.