3. Найти функцию, обратную к данной, ее область определения [продолжение условия обрезано]: а) \(y=\sqrt[3]{x-1}\); б) \(y=-3x+6\).

Области определения и значения обратной функции меняются местами с соответствующими областями исходной. В обоих пунктах исходная функция и обратная определены на всей числовой прямой.

а) Меняем местами \(x\) и \(y\) и выражаем \(y\): \(x=\sqrt[3]{y-1}\), откуда \(x^3=y-1\), значит \(y=x^3+1\). Следовательно, \(f^{-1}(x)=x^3+1\), и \(D(f^{-1})=E(f^{-1})=\mathbb R\).

б) Из \(y=-3x+6\) получаем \(x=-3y+6\), откуда \(y=2-\dfrac{x}{3}\). Следовательно, \(f^{-1}(x)=2-\dfrac{x}{3}\), и \(D(f^{-1})=E(f^{-1})=\mathbb R\).

Примечание: видимая часть условия обрывается после слов «ее область определения…»; указанные области определения и значения приведены для полноты.

Ответ: а) \(f^{-1}(x)=x^3+1\); б) \(f^{-1}(x)=2-\dfrac{x}{3}\). Для обеих обратных функций область определения и область значений — \(\mathbb R\).