4. Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь на одинаковом расстоянии от пластин каждой и имея скорость 10⁷ м/с, направленную параллельно пластинам. Расстояние между пластинами равно 2 см, длина каждой пластины 2 см. Какую наименьшую разность потенциалов нужно приложить к пластинам, чтобы электрон не вылетел из конденсатора?

Решение:

1. Электрон влетает в конденсатор параллельно пластинам. Чтобы он не вылетел, он должен пройти всю длину пластин, не коснувшись их.

2. Наибольшее отклонение произойдет, если электрон будет двигаться вдоль края пластины. Это условие означает, что электрон должен оставаться внутри пространства между пластинами.

3. Условие невылета электрона из конденсатора означает, что его траектория не должна пересекать плоскости пластин. Максимальное допустимое отклонение — касание края пластины.

4. При движении между пластинами на электрон действует сила \( F = eE \), где \( e \) — заряд электрона, \( E \) — напряженность электрического поля в конденсаторе. Эта сила вызывает ускорение \( a = \frac{F}{m} = \frac{eE}{m} \), где \( m \) — масса электрона. Ускорение направлено перпендикулярно начальной скорости, к одной из пластин.

5. Напряженность поля в плоском конденсаторе связана с разностью потенциалов \( U \) и расстоянием между пластинами \( d \) соотношением \( E = \frac{U}{d} \).

6. Ускорение электрона: \( a = \frac{eU}{md} \).

7. Движение электрона можно описать как равноускоренное движение в направлении, перпендикулярном пластинам, и равномерное движение вдоль пластин.

8. Время \( t \), за которое электрон пролетит длину пластин \( L \), равно:

\[ t = \frac{L}{v_0} \]

где \( v_0 \) — начальная скорость.

9. За это время электрон отклонится на расстояние \( y \) по вертикали:

\[ y = \frac{1}{2} a t^2 \]

Подставим \( a \) и \( t \):

\[ y = \frac{1}{2} \left( \frac{eU}{md} \right) \left( \frac{L}{v_0} \right)^2 = \frac{eUL^2}{2mdv_0^2} \]

10. Чтобы электрон не вылетел, максимальное отклонение \( y \) должно быть меньше или равно половине расстояния между пластинами, т.е. \( y \le \frac{d}{2} \).

\[ \frac{eUL^2}{2mdv_0^2} \le \frac{d}{2} \]

11. Выразим \( U \):

\[ U \le \frac{mdv_0^2}{eL^2} \]

12. Подставим значения:

• \( m = 9,11 \cdot 10^{-31} \) кг (масса электрона)
• \( e = 1,6 \cdot 10^{-19} \) Кл (заряд электрона)
• \( d = 2 \) см = \( 0,02 \) м
• \( L = 2 \) см = \( 0,02 \) м
• \( v_0 = 10^7 \) м/с

13. Наименьшая разность потенциалов, при которой электрон НЕ вылетит, соответствует условию \( y = \frac{d}{2} \). Это означает, что электрон, отклонившись максимально, достигнет края пластины, но не вылетит.

\[ U = \frac{(9,11 \cdot 10^{-31}) \cdot (0,02) \cdot (10^7)^2}{(1,6 \cdot 10^{-19}) \cdot (0,02)^2} \] \[ U = \frac{(9,11 \cdot 10^{-31}) \cdot (0,02) \cdot 10^{14}}{(1,6 \cdot 10^{-19}) \cdot (0,0004)} \] \[ U = \frac{9,11 \cdot 10^{-31} \cdot 0,02 \cdot 10^{14}}{6,4 \cdot 10^{-22}} \] \[ U = \frac{0,1822 \cdot 10^{-17}}{6,4 \cdot 10^{-22}} \] \[ U = \frac{0,1822}{6,4} \cdot 10^5 \] \[ U \(\approx\) 0,02847 \(\cdot\) 10^5 \) В

\( U \approx 2847 \) В

Ответ: Наименьшая разность потенциалов примерно 2847 В.