4. Докажите тождество: ctga - ctg2a = 1/sin2a

Решение:

Начнём с левой части тождества и преобразуем её:

\( \text{ctg}\alpha - \text{ctg} 2\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \)

Приведём к общему знаменателю:

\( = \frac{\cos\alpha \sin 2\alpha - \sin\alpha \cos 2\alpha}{\sin\alpha \sin 2\alpha} \)

Используем формулу синуса разности \( \sin(\beta - \gamma) = \sin\beta \cos\gamma - \cos\beta \sin\gamma \). Пусть \( \beta = 2\alpha \) и \( \gamma = \alpha \).

\( = \frac{\sin(2\alpha - \alpha)}{\sin\alpha \sin 2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha \sin 2\alpha} \)

Сократим \( \sin\alpha \) (при условии, что \( \sin\alpha \neq 0 \)):

\( = \frac{1}{\sin 2\alpha} \).

Левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.