1. Вычислите: a) sin 112° cos 22° - sin 22° cos 112° / cos 65° cos 35° + sin 65° sin 35° б) sin 530° - cos 22π/9

Решение:

а) Вычисление выражения:

Воспользуемся формулой синуса разности: \( \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \).

Числитель: \( \sin 112^{\circ} \cos 22^{\circ} - \sin 22^{\circ} \cos 112^{\circ} = \sin(112^{\circ} - 22^{\circ}) = \sin 90^{\circ} = 1 \).

Знаменатель: Воспользуемся формулой косинуса разности: \( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \).

\( \cos 65^{\circ} \cos 35^{\circ} + \sin 65^{\circ} \sin 35^{\circ} = \cos(65^{\circ} - 35^{\circ}) = \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Значение всего выражения: \( \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \).

б) Вычисление выражения:

Приведём угол \( 530^{\circ} \) к стандартному виду:

\( 530^{\circ} = 360^{\circ} + 170^{\circ} \). Значит, \( \sin 530^{\circ} = \sin 170^{\circ} \).

Приведём угол \( \frac{22\pi}{9} \) к стандартному виду:

\( \frac{22\pi}{9} = \frac{18\pi + 4\pi}{9} = 2\pi + \frac{4\pi}{9} \). Значит, \( \cos \frac{22\pi}{9} = \cos \frac{4\pi}{9} \).

Выражение принимает вид: \( \sin 170^{\circ} - \cos \frac{4\pi}{9} \).

\( \sin 170^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 10^{\circ}) = \sin 10^{\circ} \).

\( \cos \frac{4\pi}{9} = \cos \frac{4 \cdot 180^{\circ}}{9} = \cos (4 \cdot 20^{\circ}) = \cos 80^{\circ} \).

\( \cos 80^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 10^{\circ}) = \sin 10^{\circ} \).

Таким образом, \( \sin 170^{\circ} - \cos \frac{4\pi}{9} = \sin 10^{\circ} - \sin 10^{\circ} = 0 \).

Ответ: а) \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \); б) 0.