4. Даны точки А(-1; 5; 3), В(7; -1; 3), C(3; -2; 6). Доказать, что треугольник АВС прямоугольный. Найти длину медианы треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

Решение:

1. Докажем, что треугольник ABC прямоугольный, найдя квадраты длин сторон.
   \( AB^2 = (7 - (-1))^2 + (-1 - 5)^2 + (3 - 3)^2 = (7+1)^2 + (-6)^2 + 0^2 = 8^2 + 36 = 64 + 36 = 100 \)
   \( BC^2 = (3 - 7)^2 + (-2 - (-1))^2 + (6 - 3)^2 = (-4)^2 + (-2+1)^2 + 3^2 = 16 + (-1)^2 + 9 = 16 + 1 + 9 = 26 \)
   \( AC^2 = (3 - (-1))^2 + (-2 - 5)^2 + (6 - 3)^2 = (3+1)^2 + (-7)^2 + 3^2 = 4^2 + 49 + 9 = 16 + 49 + 9 = 74 \)
   Проверим выполнение теоремы Пифагора: \( BC^2 + AC^2 = 26 + 74 = 100 \).
   Так как \( AB^2 = BC^2 + AC^2 \), то треугольник ABC прямоугольный с прямым углом в вершине C.
2. Найдем длину медианы, проведенной из вершины прямого угла C.
   Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
   Гипотенуза AB = \( \sqrt{AB^2} = \sqrt{100} = 10 \).
   Длина медианы CM = \( \frac{1}{2} AB \)
   CM = \( \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \)

Ответ: Треугольник ABC прямоугольный (доказано по теореме Пифагора). Длина медианы, проведенной из вершины прямого угла, равна 5.