№ 4. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ=6, АС=54. Найдите AK.

Решение:

Согласно свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей:

\( AK^2 = AB \cdot AC \)

Подставим известные значения:

\( AK^2 = 6 \cdot 54 \)

\( AK^2 = 324 \)

\( AK = \sqrt{324} \)

\( AK = 18 \)

Ответ: AK = 18.