4. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы

Решение

Дано:

• Правильная треугольная призма.
• Высота призмы (боковое ребро) \( h = 9 \) см.
• Диагональ боковой грани \( d = 15 \) см.

Найти:

• Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).
• Площадь полной поверхности \( S_{полн} \).

1. Находим сторону основания призмы:

Боковая грань правильной треугольной призмы — это прямоугольник. Диагональ боковой грани, её высота (боковое ребро) и сторона основания образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

\[ d^2 = h^2 + a^2 \]

\[ 15^2 = 9^2 + a^2 \]

\[ 225 = 81 + a^2 \]

\[ a^2 = 225 - 81 \]

\[ a^2 = 144 \]

\[ a = \sqrt{144} = 12 \) см.

2. Находим площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

\[ S_{бок} = P_{осн} \cdot h \]

Периметр основания правильной треугольной призмы:

\[ P_{осн} = 3a = 3 \cdot 12 = 36 \) см.

Теперь находим площадь боковой поверхности:

\[ S_{бок} = 36 \cdot 9 = 324 \) см².

3. Находим площадь основания:

Основание — правильный треугольник. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

\[ S_{осн} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3} \) см².

4. Находим площадь полной поверхности:

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

\[ S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} \]

\[ S_{полн} = 324 + 2 \cdot (36 \sqrt{3}) \]

\[ S_{полн} = 324 + 72 \(\sqrt{3}\) \) см².

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна 324 см², площадь полной поверхности призмы равна (324 + 72√3) см².