4. Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9

Решение:

Для нахождения площади трапеции используем формулу \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, а \( h \) — высота.

Основания трапеции известны: \( a = 3 \) м, \( b = 9 \) м.

Боковая сторона \( c = 5 \) м, а прилежащий угол \( \alpha = 30^{\circ} \).

Чтобы найти высоту \( h \), опустим перпендикуляр из вершины тупого угла на большее основание. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c = 5 \) м и острым углом \( 30^{\circ} \). Высота \( h \) будет катетом, противолежащим этому углу.

Используем синус угла:

\( \sin \alpha = \frac{h}{c} \)

\( h = c \cdot \sin \alpha \)

\( h = 5 \cdot \sin 30^{\circ} \)

Так как \( \sin 30^{\circ} = 0.5 \), то:

\( h = 5 \cdot 0.5 = 2.5 \) м.

Теперь подставим значения в формулу площади трапеции:

\( S = \frac{3+9}{2} \cdot 2.5 \)

\( S = \frac{12}{2} \cdot 2.5 \)

\( S = 6 \cdot 2.5 \)

\( S = 15 \) м².

Ответ: 15 м².