4). Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

1. Обозначим:
   • $$v$$ — собственная скорость баржи (км/ч).
   • $$u = 5$$ км/ч — скорость течения реки.
   • $$t_1 = rac{32}{v+u}$$ — время движения по течению.
   • $$t_2 = rac{24}{v-u}$$ — время движения против течения.
   • $$T = 4$$ часа — общее время в пути.
2. Составим уравнение:
   • $$t_1 + t_2 = T$$
   • $$rac{32}{v+5} + rac{24}{v-5} = 4$$
3. Решим уравнение:
   • Умножим обе части на $$(v+5)(v-5) = v^2 - 25$$:
   • $$32(v-5) + 24(v+5) = 4(v^2 - 25)$$
   • $$32v - 160 + 24v + 120 = 4v^2 - 100$$
   • $$56v - 40 = 4v^2 - 100$$
   • $$4v^2 - 56v - 60 = 0$$
   • Разделим на 4:
   • $$v^2 - 14v - 15 = 0$$
4. Найдем корни квадратного уравнения (по теореме Виета или через дискриминант):
   • Сумма корней = 14, произведение корней = -15.
   • Корни: $$v_1 = 15$$, $$v_2 = -1$$.
5. Выберем подходящий корень:
   • Скорость не может быть отрицательной, поэтому $$v = 15$$ км/ч.

Ответ: 15 км/ч