4. ABCD — трапеция, AB=CD, AD+BC-?

Решение:

ABCD — трапеция, и \( AB = CD \), что означает, что трапеция является равнобедренной.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Условие \( AD + BC - ? \) является незавершенным вопросом.

На рисунке показано, что в трапецию вписана окружность. Для того, чтобы в трапецию можно было вписать окружность, сумма противоположных сторон должна быть равна.

\( AB + CD = AD + BC \)

Так как \( AB = CD \), то \( 2 · AB = AD + BC \).

На рисунке также указано, что \( QM = 6 \), где \( Q \) — центр окружности, а \( M \) — точка касания на \( AD \). \( QM \) является радиусом окружности, \( R = 6 \).

Высота равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру окружности. \( h = 2R = 2 · 6 = 12 \).

Угол \( A = 30° \).

В прямоугольном треугольнике \( ABM \) (где \( M \) — проекция \( B \) на \( AD \)), \( BM = h = 12 \).

\( ∠ BAM = 30° \).

\( ∠ ABM = 90° - 30° = 60° \).

В треугольнике \( ABM \): \( BM = AB · sin(30°) \)

\( 12 = AB · 1/2 \)

\( AB = 12 · 2 = 24 \).

Так как \( AB = CD \), то \( CD = 24 \).

Теперь используем условие для вписанной окружности: \( AD + BC = AB + CD \).

\( AD + BC = 24 + 24 = 48 \).

Ответ: 48