39. Докажите, что: а) $A\subseteq B$ равносильно $\overline B\subseteq\overline A$; б) $A\subseteq B$ равносильно $A\setminus B=\varnothing$; в) $A=B$ равносильно $A\triangle B=\varnothing$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 39. Докажите, что: а) $A\subseteq B$ равносильно $\overline B\subseteq\overline A$; б) $A\subseteq B$ равносильно…$ Фото задания

39. Докажите, что: а) $A\subseteq B$ равносильно $\overline B\subseteq\overline A$; б) $A\subseteq B$ равносильно $A\setminus B=\varnothing$; в) $A=B$ равносильно $A\triangle B=\varnothing$.

Accepted Answer

а) Если $A\subseteq B$, то всякий элемент, не принадлежащий $B$, тем более не принадлежит $A$; значит, $\overline B\subseteq\overline A$. Обратно, из $\overline B\subseteq\overline A$ следует, что элемент из $A$ не может быть вне $B$, следовательно, $A\subseteq B$.
б) $A\subseteq B$ означает, что в $A$ нет элементов вне $B$, то есть $A\setminus B=\varnothing$. Обратное следует из того же определения разности.
в) Симметрическая разность пуста ровно тогда, когда нет элементов, принадлежащих только одному из множеств. Это означает, что множества имеют одни и те же элементы, то есть $A=B$.

39. Докажите, что: а) \(A\subseteq B\) равносильно \(\overline B\subseteq\overline A\); б) \(A\subseteq B\) равносильно \(A\setminus B=\varnothing\); в) \(A=B\) равносильно \(A\triangle B=\varnothing\).

Ответ: