35. Докажите тождества: а) $(A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C)$; б) $(A\setminus B)\setminus C=A\setminus(B\cup C)$; в) $(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C)$; г) $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap(B\setminus C)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 35. Докажите тождества: а) $(A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C)$; б) \((A\setminus B)\setminus…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Элемент принадлежит $A\triangle B$, когда он входит ровно в одно из множеств $A,B$. Поэтому обе части содержат элементы, принадлежащие нечётному числу множеств из $A,B,C$. Следовательно, симметрическая разность ассоциативна: $(A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C)$.
б) $(A\setminus B)\setminus C=(A\cap\overline B)\cap\overline C=A\cap(\overline B\cap\overline C)=A\cap\overline{B\cup C}=A\setminus(B\cup C)$.
в) $(A\cup B)\setminus C=(A\cup B)\cap\overline C=(A\cap\overline C)\cup(B\cap\overline C)=(A\setminus C)\cup(B\setminus C)$.
г) $(A\cap B)\setminus C=(A\cap B)\cap\overline C=(A\cap\overline C)\cap(B\cap\overline C)=(A\setminus C)\cap(B\setminus C)$.

35. Докажите тождества: а) \((A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C)\); б) \((A\setminus B)\setminus C=A\setminus(B\cup C)\); в) \((A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C)\); г) \((A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap(B\setminus C)\).