349. Докажите, что иррациональным является число: а) √5; б) √3; в) √3 − 1; г) √5 + 1.

Предположим, что √5 рационально: √5 = m/n, где m и n — взаимно простые целые числа, n ≠ 0. Тогда m² = 5n², поэтому 5 делит m, а значит, и n. Это противоречит взаимной простоте m и n. Следовательно, √5 иррационально.

Аналогично, если √3 = m/n в несократимой дроби, то m² = 3n². Отсюда 3 делит m и n — противоречие. Значит, √3 иррационально.

Если бы √3 − 1 было рациональным, то √3 = (√3 − 1) + 1 тоже было бы рациональным, что противоречит пункту б).

Если бы √5 + 1 было рациональным, то √5 = (√5 + 1) − 1 тоже было бы рациональным, что противоречит пункту а).