34.32. a) 1/(x^2 - 7x + 12) > 0; б) -3/(x^2 - x - 20) > 0; в) 3/(42 - x^2 - x) < 0; г) -5/(2x + 15 - x^2) < 0.

Решение:

а) \( \frac{1}{x^2 - 7x + 12} > 0 \)

1. Числитель (1) положителен, поэтому для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положителен: \( x^2 - 7x + 12 > 0 \).
2. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 7x + 12 = 0 \). Дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \). \( \sqrt{1} = 1 \).
3. Корни: \( x_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4 \).
4. Так как ветви параболы \( y = x^2 - 7x + 12 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 - 7x + 12 > 0 \) выполняется вне корней.

Ответ: \( x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty) \).

б) \( \frac{-3}{x^2 - x - 20} > 0 \)

1. Числитель (-3) отрицателен, поэтому для выполнения неравенства знаменатель должен быть отрицателен: \( x^2 - x - 20 < 0 \).
2. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 20 = 0 \). Дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 \). \( \sqrt{81} = 9 \).
3. Корни: \( x_1 = \frac{1 - 9}{2} = -4 \) и \( x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5 \).
4. Так как ветви параболы \( y = x^2 - x - 20 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 - x - 20 < 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( x \in (-4; 5) \).

в) \( \frac{3}{42 - x^2 - x} < 0 \)

1. Числитель (3) положителен, поэтому для выполнения неравенства знаменатель должен быть отрицателен: \( 42 - x^2 - x < 0 \).
2. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: \( x^2 + x - 42 > 0 \).
3. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + x - 42 = 0 \). Дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 \). \( \sqrt{169} = 13 \).
4. Корни: \( x_1 = \frac{-1 - 13}{2} = -7 \) и \( x_2 = \frac{-1 + 13}{2} = 6 \).
5. Так как ветви параболы \( y = x^2 + x - 42 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 + x - 42 > 0 \) выполняется вне корней.

Ответ: \( x \in (-\infty; -7) \cup (6; +\infty) \).

г) \( \frac{-5}{2x + 15 - x^2} < 0 \)

1. Числитель (-5) отрицателен, поэтому для выполнения неравенства знаменатель должен быть положителен: \( 2x + 15 - x^2 > 0 \).
2. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: \( x^2 - 2x - 15 < 0 \).
3. Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 15 = 0 \). Дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \). \( \sqrt{64} = 8 \).
4. Корни: \( x_1 = \frac{2 - 8}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5 \).
5. Так как ветви параболы \( y = x^2 - 2x - 15 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 - 2x - 15 < 0 \) выполняется между корнями.

Ответ: \( x \in (-3; 5) \).