34.28. a) 5x^2 > 2x; б) 1/2 x^2 > 12; в) 4x <= -x^2; г) 1/3 x^2 > 1/9

Решение:

а) \( 5x^2 > 2x \)

1. Перенесём всё в одну часть: \( 5x^2 - 2x > 0 \).
2. Вынесем общий множитель \( x \): \( x(5x - 2) > 0 \).
3. Найдем корни уравнения \( x(5x - 2) = 0 \): \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = \frac{2}{5} \).
4. Метод интервалов: функция \( y = x(5x - 2) \) — парабола с ветвями вверх. Значения \( y > 0 \) при \( x \) вне корней.

Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{5}; +\infty) \).

б) \( \frac{1}{2} x^2 > 12 \)

1. Умножим обе части на 2: \( x^2 > 24 \).
2. Извлечём квадратный корень: \( |x| > \sqrt{24} \).
3. Упростим корень: \( \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \).
4. Получим: \( |x| > 2\sqrt{6} \).
5. Это означает, что \( x < -2\sqrt{6} \) или \( x > 2\sqrt{6} \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -2\sqrt{6}) \cup (2\sqrt{6}; +\infty) \).

в) \( 4x \le -x^2 \)

1. Перенесём всё в одну часть: \( x^2 + 4x \le 0 \).
2. Вынесем общий множитель \( x \): \( x(x + 4) \le 0 \).
3. Найдем корни уравнения \( x(x + 4) = 0 \): \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -4 \).
4. Метод интервалов: функция \( y = x(x + 4) \) — парабола с ветвями вверх. Значения \( y \le 0 \) между корнями.

Ответ: \( x \in [-4; 0] \).

г) \( \frac{1}{3} x^2 > \frac{1}{9} \)

1. Умножим обе части на 3: \( x^2 > \frac{3}{9} \) или \( x^2 > \frac{1}{3} \).
2. Извлечём квадратный корень: \( |x| > \sqrt{\frac{1}{3}} \).
3. Упростим корень: \( \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
4. Получим: \( |x| > \frac{\sqrt{3}}{3} \).
5. Это означает, что \( x < -\frac{\sqrt{3}}{3} \) или \( x > \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty) \).