34.31. a) x^4 + 16x^2 - 17 < 0; б) y^4 + 12y^2 - 64 >= 0; в) x^4 + 6x^2 - 7 > 0; г) z^4 + 3z^2 - 28 <= 0.

Решение:

а) \( x^4 + 16x^2 - 17 < 0 \)

1. Сделаем замену переменной: пусть \( t = x^2 \). Тогда неравенство примет вид: \( t^2 + 16t - 17 < 0 \).
2. Найдем корни квадратного уравнения \( t^2 + 16t - 17 = 0 \). Дискриминант: \( D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 256 + 68 = 324 \). \( \sqrt{324} = 18 \).
3. Корни: \( t_1 = \frac{-16 - 18}{2} = -17 \) и \( t_2 = \frac{-16 + 18}{2} = 1 \).
4. Так как ветви параболы \( y = t^2 + 16t - 17 \) направлены вверх, неравенство \( t^2 + 16t - 17 < 0 \) выполняется при \( -17 < t < 1 \).
5. Подставим обратно \( t = x^2 \): \( -17 < x^2 < 1 \).
6. Так как \( x^2 \) всегда неотрицательно, имеем \( 0 \le x^2 < 1 \).
7. Извлечём квадратный корень: \( |x| < 1 \).

Ответ: \( x \in (-1; 1) \).

б) \( y^4 + 12y^2 - 64 \ge 0 \)

1. Сделаем замену переменной: пусть \( t = y^2 \). Тогда неравенство примет вид: \( t^2 + 12t - 64 \ge 0 \).
2. Найдем корни квадратного уравнения \( t^2 + 12t - 64 = 0 \). Дискриминант: \( D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400 \). \( \sqrt{400} = 20 \).
3. Корни: \( t_1 = \frac{-12 - 20}{2} = -16 \) и \( t_2 = \frac{-12 + 20}{2} = 4 \).
4. Так как ветви параболы \( y = t^2 + 12t - 64 \) направлены вверх, неравенство \( t^2 + 12t - 64 \ge 0 \) выполняется при \( t \le -16 \) или \( t \ge 4 \).
5. Подставим обратно \( t = y^2 \): \( y^2 \le -16 \) или \( y^2 \ge 4 \).
6. Первое неравенство \( y^2 \le -16 \) не имеет решений, так как \( y^2 \) не может быть отрицательным.
7. Из \( y^2 \ge 4 \) следует \( |y| \ge 2 \), то есть \( y \le -2 \) или \( y \ge 2 \).

Ответ: \( y \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \).

в) \( x^4 + 6x^2 - 7 > 0 \)

1. Сделаем замену переменной: пусть \( t = x^2 \). Тогда неравенство примет вид: \( t^2 + 6t - 7 > 0 \).
2. Найдем корни квадратного уравнения \( t^2 + 6t - 7 = 0 \). Дискриминант: \( D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \). \( \sqrt{64} = 8 \).
3. Корни: \( t_1 = \frac{-6 - 8}{2} = -7 \) и \( t_2 = \frac{-6 + 8}{2} = 1 \).
4. Так как ветви параболы \( y = t^2 + 6t - 7 \) направлены вверх, неравенство \( t^2 + 6t - 7 > 0 \) выполняется при \( t < -7 \) или \( t > 1 \).
5. Подставим обратно \( t = x^2 \): \( x^2 < -7 \) или \( x^2 > 1 \).
6. Первое неравенство \( x^2 < -7 \) не имеет решений, так как \( x^2 \) не может быть отрицательным.
7. Из \( x^2 > 1 \) следует \( |x| > 1 \), то есть \( x < -1 \) или \( x > 1 \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \).

г) \( z^4 + 3z^2 - 28 \le 0 \)

1. Сделаем замену переменной: пусть \( t = z^2 \). Тогда неравенство примет вид: \( t^2 + 3t - 28 \le 0 \).
2. Найдем корни квадратного уравнения \( t^2 + 3t - 28 = 0 \). Дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 \). \( \sqrt{121} = 11 \).
3. Корни: \( t_1 = \frac{-3 - 11}{2} = -7 \) и \( t_2 = \frac{-3 + 11}{2} = 4 \).
4. Так как ветви параболы \( y = t^2 + 3t - 28 \) направлены вверх, неравенство \( t^2 + 3t - 28 \le 0 \) выполняется при \( -7 \le t \le 4 \).
5. Подставим обратно \( t = z^2 \): \( -7 \le z^2 \le 4 \).
6. Так как \( z^2 \) всегда неотрицательно, имеем \( 0 \le z^2 \le 4 \).
7. Извлечём квадратный корень: \( |z| \le 2 \).

Ответ: \( z \in [-2; 2] \).